近日，小红书的一个热帖火爆了全网，我第一次看到时还仅仅接近3400条评论，1700个点赞。

短短两天后，截至目前已有10000次点赞，近7100条评论，阅读量过212万，一度被有心人转载到抖音、微博等平台。

原博主主要问了什么问题引起了大家的热情评论呢？
“和朋友一起租房子，三个人三个房间，整租费用是1600元，她们两人每人一个大房间带有落地窗，床是1.8m宽的，博主睡小房间无落地窗，床是1.5m宽的，博主打算整体租金按600/600/400元的分摊，，但还没有和另外两个人沟通，所以询问一下大家的意见？”且配有相应的图片。
大家给出了多种方案，但有一个方案被大家点赞到最高也排到最前面的是这个，见下图

第二条点赞超过1.4万次点赞的方案，见下图

一直没争出个所以然来！
其实，面对这种问题，我们《开悟：数学黑客的生活之旅》（下称《开悟》）一书中早有应对之策——可能不一定能圆满解决所有问题，但只要你好好学会利用这个方案，一定能解决你心中绝大部分的疑惑！
当感性解决不了时，就用理性解决吧！
面对两个人时，解决方法非常简单。
（1）两间房条件相同时，租金平均分即可。
（2）两间房条件不同时，租金可以采用以下方案（见图），且该方案具有公平性保证及符合无怨原则（双方均自认获益为正且双方均认为对方获益为负）、无人抱怨分配不公，即使遇到出价完全一致的特殊情况，重新竞价直至出现差异即可。

当遇到多人（三人及以上）时怎么办呢？为简化模型，这里以三人为例说明。

01

Sperner的完美方案

这个三人难题的完美解答，需要利用三角形的斯本纳引理(Sperner’sLemmafor Triangles)。
这个解法的思路是用“缩小包围圈”的方法找到那个“完美分配方案”
什么是完美的分配方案呢?在房租总和不变的情况下，三人各自的偏好刚好是不同房间，且对租金满意时，就是完美的分配方案。如果用穷举法来找这个方案就太慢了，所以，要用逐步缩小包围圈的方法:给出三个不同的方案，分别问三个人如果他们分别挑选了不同的房间，那么完美方案存在于这三个方案之间的某个平衡点上。我们在这三个方案包围的区域中再选三个方案，如此逐步逼近完美方案。
首先，绘制出一个正三角形作为坐标系，三角形内任一点的坐标为(a,b,c),a、b、c分别代表该点到右斜边、左斜边、底边的距离。根据正三角形的性质，a+b+c=恒定值。经过归一化之后，可以使得a+b+c=总房租，正三角形中的每一个点，代表着对三个房间房租的一种分配方案。在此定义下，三角形的三条边代表某个房间免费租的极端方案，比如右斜边表示1号房间免费，左斜边代表2号房间免费，底边代表3号房间免费。所以这个大三角形内部的点包含了所有可能的方案
在大三角形中，不断画出小三角形进行迭代，每个小三角形的三个顶点都是相邻的三个不同方案，分别拿去问A、B、C三位不同的室友。如果他们三人刚好在各自被问到的方案中选择了不同的房间，那我们就知道完美方案就藏在这个小三角形中。用房号来标记更清晰:我们把三个室友分别选中的房间的号码1、2、3标在小三角形的顶点上。最后,总能找到一个小三角形,其三个顶点的房间标号恰好为1、2、3(根据斯本纳引理)，这就代表着一个公平且无怨的分配方案存在于这个小三角形中。而当这个小三角形收敛到足够小，小到误差足以被三人忽略时，就会形成一个可行的方案—“’Sperner 完美方案”，如图所示。

02

常规的分配方案

这也就是小红书帖子中被点赞最多的方案，我谨慎怀疑那个作者是看过我们这本书给出的方案！
书中是这么说的（来自《开悟》书中第84页）
如果三个房间的最高价为不同人，则将三个房间的初始成交价确定为各自的出价。
如果某人的竞价为两个房间的最高价（不可能是三个房间的最高价），则必须在两个房间中确定一个所要的房间，房间的初始成交价为其竞价。
此时剩下两个人两间房间，已经不考虑第一人的出价，价高者获得相应房间。如果一个人在两个房间的出价均为最高，则由该土豪选择一个房间，并以其出价作为初始成交价。这时剩下最后一个房间，归最后一个人所有，初始成交价仍为其出价。
三个初始成交价的总和大于等于总租金，但以三人的出资比例划分总租金，成为最终的房间成交价。（这也是小红书给出的方案，虽然他最终算出来的实际出价租金与个人设定的最高佣金比例不一致）
上面考虑的是理想情况，如果三个房间的最高价为不同人又该怎么办呢？
书中给出了另外两种分析方案（来自《开悟》书中第85页）。

03

全新分配方案1

将三个房间的初始成交价确定为各自的出价。三个初始成交价的总和大于总租金，多余的钱放入到三人合租的共同基金。这就是上面提到的“共同富裕方案”。
该情况下，每个人的成交价都等于自己的出价，即获益为零；而其他人的成交价都高于其本人在对应房间的出价，即在其认知中他人获益为负。最终实现无怨。具体情况如图所示。

04

全新分配方案2
如果某人的竞价为两个房间的最高价。假设为甲在房间1和2为最高出价人，丙在房间3为最高出价人，其他情况做相似讨论。有如下两种情况：
（1）房间1、2和3的出价排序分别为（甲乙丙）、（甲乙丙）和（丙乙甲），即房间1和2的出价顺序完全一致。则三个房间均按照乙的出价作为成交价，丙获得房间3，甲在房间1和2做选择，而乙获得剩下的房间。三人的成交价总和恰好等于租金总额，不需要做任何调整。该情况下，每个人的成交价都等于乙在各个房间的出价：
i. 对乙而言，所有人获益为零。
ii. 对丙而言，在房间3上的获益为正=房3价格（丙）-房3价格（乙）=丙的心理价位-丙的成交价，而其他人在房间1和2的成交价都高于丙的出价，即获益为负。
iii. 对甲而言，丙在房间3的成交价高于甲的出价，即获益为负。甲的判断中，房间1和2的获益均为正，因为甲有优先选择权，必然会选择自认为获益更大的房间，而把获益更小的房间留给乙。
最终甲乙丙三人都实现无怨，具体情况如图所示。

（2）房间1、2和3的出价排序分别为（甲乙丙）、（甲丙乙）和（丙乙甲），即房间1和2的出价顺序不一致。首先，让丙按照其在房间3的出价（即该房间的最高价）获得房间3，让乙按照乙在房间1的出价（即该房间的次高价）获得房间1，让甲再按照丙在房间2的出价（即该房间的次高价）获得房间2。接下来做调整并讨论无怨的问题。
i. 三个成交价加在一起大于总租金，差额为房间1（乙）-房间1（丙）。
ii. 丙实现无怨，自己成交的房间3获益为零，认为其他人获益为零或负。
iii. 乙实现无怨，自己成交的房间1获益为零，认为其他人获益为零或负。
iv. 甲可能实现无怨，因为甲认为：丙的获益为负，乙和甲自己都获益为正，但有一定的概率甲认为乙的获益大于甲自己的获益。
v. 多余的钱，即差额为房间1出价（乙）-房间1出价（丙），放入到三人合租的共同基金。
以上虽然不是完美解法，但考虑到只有一定概率甲认为乙的获益超过自己，其他均为无怨，具体情况如图所示。

考虑到不想经历“Sperner完美方案”的麻烦，两害相权取其轻，以上方案简单可行。如果实在要追求完美，可以锁定丙在三个房间的出价，而不再竞价；同时以丙在房间3的出价为最高价，而以在房间1和2的出价为最低价，让甲和乙两人再次竞价，最终会找到一个完美无瑕的方案。
回到前面的案例，那个博主后面也给出他们沟通的结果，看来，这里面仅凭理性并不能很好的解决问题，毕竟，这里面有人是“有怨”的，所以还需要博弈……但经过这次事情，相信博主会在以后的道路上越来越好！

除了合租案例，《开悟：数学黑客的生活之旅（双色）》还通过多个生活实例，解读常见问题的数学解法，助你提升工作效率和生活质量。比如：
（1）效率生活：如何在超市排队中占据有利位置，实现快速结账？
（2）择偶难题：如何在茫茫人海中，高效找到最符合自己偏好的伴侣？
（3）理性消费：如何在资本包装的诱惑下，精准选择真正需要的商品？——比如，Labubu玩偶（泡泡玛特的IP，见图）真的是你的必需品吗？如何避免沦为收集癖？