第1章 引言 1
1.1 开普勒第二定律 1
1.2 线性近似的思想 2
1.3 古典微积分 3
1.4 古典微积分的问题 4
第2章 函数与极限 6
2.1 柯西的数列极限 6
2.1.1 用数列来表示矩形逼近曲边梯形这一过程 6
2.1.2 柯西的数列极限 9
2.1.3 无穷大符号 10
2.1.4 阿基里斯悖论 10
2.1.5 古典微积分问题的解决 12
2.2 魏尔斯特拉斯的数列极限 13
2.2.1 魏尔斯特拉斯的数列极限介绍 14
2.2.2 数列极限的另外一种定义 20
2.3 数列极限的性质 22
2.3.1 数列极限的唯一性 23
2.3.2 收敛数列的有界性 24
2.3.3 收敛数列的保号性 26
2.3.4 收敛数列的子数列 27
2.4 趋于无穷的函数极限 28
2.4.1 趋于无穷、正无穷、负无穷的函数极限 28
2.4.2 无穷极限存在的充要条件 34
2.5 一般的函数极限 35
2.5.1 飞矢不动 35
2.5.2 邻域、去心邻域以及一般的函数极限 37
2.5.3 单侧极限 41
2.5.4 极限存在的充要条件 43
2.5.5 小结 45
2.6 无穷小 45
2.6.1 极限和局部 45
2.6.2 无穷小的定义和意义 47
2.6.3 极限与无穷小 49
2.7 无穷大 50
2.7.1 正无穷大、负无穷大和无穷大的定义 50
2.7.2 无穷小与无穷大 52
2.8 极限的性质 54
2.8.1 极限的唯一性 55
2.8.2 极限的局部有界性 55
2.8.3 极限的局部保号性 56
2.9 海涅定理 59
2.9.1 海涅定理的几何意义 60
2.9.2 xn ̸= x0 61
2.9.3 海涅定理的例题 62
2.10 极限的运算法则 64
2.10.1 无穷小的运算法则 64
2.10.2 极限的各种运算法则 66
2.10.3 抛物线下的面积 71
2.11 夹逼定理 72
2.12 复合函数的极限 78
2.13 渐近线 84
2.13.1 水平渐近线 84
2.13.2 铅直渐近线 85
2.13.3 斜渐近线 86
2.14 单调有界数列必有极限 89
2.14.1 单调数列和单调函数 89
2.14.2 单调有界准则 90
2.14.3 欧拉数e 90
2.14.4 欧拉数e 的现实意义 93
2.14.5 自然底数 94
2.14.6 欧拉数e 的例题 95
2.15 无穷小的比较 95
2.15.1 具体的无穷小的比较 95
2.15.2 等价无穷小 96
2.16 函数的连续性 99
2.16.1 连续的定义 99
2.16.2 左连续、右连续 102
2.16.3 连续函数 102
2.16.4 点连续 105
2.17 函数的间断点 106
2.18 连续函数的运算与初等函数的连续性 109
2.18.1 和、差、积、商的连续性 109
2.18.2 反函数的连续性 110
2.18.3 复合函数的连续性 111
2.18.4 初等函数的连续性 113
2.18.5 极限求解的例题 113
2.19 闭区间上连续函数的性质 114
2.19.1 最值和极值 114
2.19.2 有界性与最大值最小值定理 116
2.19.3 零点定理 117
2.19.4 介值定理 117
2.19.5 通过极限求出圆的面积 119
第3章 微分与导数 120
3.1 微分与线性近似 120
3.2 通过导数求出微分 123
3.2.1 微分的定义 123
3.2.2 导数的定义 128
3.2.3 左导数、右导数 129
3.2.4 连续与可导 131
3.2.5 微分与切线 133
3.2.6 割线与切线 133
3.2.7 圆周率等于4 134
3.2.8 微分与导数的符号 136
3.3 常用的一些导函数 136
3.4 函数和、差、积、商的求导法则 140
3.5 复合函数的导函数 142
3.5.1 链式法则 142
3.5.2 关于链式法则的常见误解 145
3.6 反函数的导函数 145
3.7 隐函数的导函数 149
3.7.1 函数、显函数和隐函数 149
3.7.2 局部的隐函数 151
3.7.3 对数求导法 153
3.8 参数方程的导函数与相关变化率 154
3.8.1 参数方程的导函数 154
3.8.2 相关变化率 156
3.9 高阶导数 157
3.10 小结 159
第4章 微分中值定理与导数的应用 161
4.1 微分中值定理 161
4.1.1 费马引理和驻点 161
4.1.2 罗尔中值定理 163
4.1.3 拉格朗日中值定理 166
4.1.4 柯西中值定理 170
4.1.5 微分中值定理的例题 174
4.2 洛必达法则 174
4.2.1 未定式 176
4.2.2 洛必达法则的较弱形式和加强形式 177
4.2.3 洛必达法则的更多形式 180
4.2.4 洛必达法则的局限性 182
4.3 泰勒公式 182
4.3.1 泰勒定理和皮亚诺余项 183
4.3.2 为什么可以通过多项式来逼近函数f(x) 187
4.3.3 泰勒公式的系数和余项 189
4.3.4 麦克劳林公式 191
4.3.5 皮亚诺余项和拉格朗日余项 192
4.3.6 泰勒公式的例题 193
4.4 函数的单调性与凹凸性 194
4.4.1 导数与函数的单调性 194
4.4.2 函数的凹凸性 197
4.4.3 拐点 200
4.5 函数的极值与最值 203
4.5.1 极值的充分条件 203
4.5.2 闭区间上函数的最值 207
4.6 曲率 208
4.6.1 圆的曲率 209
4.6.2 曲线的曲率 209
第5章 不定积分 217
5.1 不定积分的概念与性质 217
5.1.1 原函数 217
5.1.2 达布定理 218
5.1.3 不定积分的定义 219
5.1.4 基本积分表 220
5.1.5 不定积分的性质 221
5.2 不定积分的换元法 222
5.2.1 不定积分的第一类换元法 223
5.2.2 不定积分的第二类换元法 225
5.3 分部积分法和有理函数的积分 227
5.3.1 分部积分法 227
5.3.2 有理函数的积分 229
第6章 定积分 232
6.1 定积分与曲边梯形 232
6.1.1 定积分的定义 232
6.1.2 曲边梯形及其面积 237
6.2 定积分的可积条件和性质 239
6.2.1 可积的充分条件 239
6.2.2 定积分的补充规定 241
6.2.3 定积分的齐次性与可加性 242
6.2.4 定积分的性质 243
6.3 微积分基本定理 247
6.3.1 积分上限函数 247
6.3.2 微积分第一基本定理 249
6.3.3 微积分第二基本定理 250
6.4 定积分的换元法和分部积分法 253
6.4.1 定积分的换元法 253
6.4.2 定积分的分部积分法 256
6.5 反常积分 256
6.5.1 无穷限的反常积分 256
6.5.2 无界函数的反常积分 261
第7章 定积分的应用 265
7.1 定积分与曲线长度 265
7.1.1 光滑曲线及其长度 265
7.1.2 圆的曲率 269
7.1.3 曲线的曲率 270
7.2 定积分与面积 271
7.2.1 曲线之间的面积 271
7.2.2 极坐标系下的面积 277
7.3 表面积与体积 279
7.3.1 圆锥面的表面积 279
7.3.2 圆台面的表面积 280
7.3.3 旋转面的表面积 281
7.3.4 旋转体的体积 285
7.3.5 截面积已知的立体图形的体积 287
7.4 定积分在物理中的应用 288
7.4.1 变力沿直线做功 288
7.4.2 水压力 290
7.4.3 力矩与质心 291
7.4.4 万有引力 293
第8章 微分方程 296
8.1 微分方程的基本概念 296
8.1.1 微分方程的定义 296
8.1.2 解、通解、特解和初值条件 300
8.2 可分离变量的微分方程 300
8.2.1 可分离变量的微分方程的定义 301
8.2.2 可分离变量的微分方程的求解方法 301
8.3 齐次方程 303
8.4 一阶线性微分方程 304
8.4.1 一阶线性微分方程的求解方法 304
8.4.2 伯努利微分方程 306
8.5 可降阶的高阶微分方程 308
8.5.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 308
8.5.2 y= f(x, y) 型的微分方程 309
8.5.3 y= f(y, y) 型的微分方程 309
8.6 高阶线性微分方程 309
8.6.1 高阶线性微分方程的定义 310
8.6.2 线性方程组解的结构 310
8.6.3 线性微分方程解的结构 311
8.6.4 常数变易法 313
8.7 常系数线性微分方程 315
8.7.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解 316
8.7.2 f(x) = eλxPm(x) 时的常系数非齐次线性微分方程 318