九章算术

本文节选自即将由电子工业出版社出版的《数据科学家养成手册》第三章

中国最早的数学专著是《周髀算经》——原名《周髀》，是算经十书之一。它们是汉、唐一千多年间来民间数学研究方面的专业著作，也曾经一度作为隋唐时代国子监算学科的教科书。

《九章算术》是中国古代科技工作者点滴积累而成的数学专著，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，最后成书最迟在东汉前期的公元一世纪左右。它是一部中国历史上非常有名的数学专著，并于隋唐年间传往东亚的朝鲜和日本等国。和我们学习的《数学分析》、《微积分》里所写内容的脉络不同，《九章算术》的内容看上去更“接地气”一些，如果你有空翻看其中的内容就会发现，这简直就是一本中国古代工农业生产应用题大全。

第一章“方田”——讲的是平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、拱形、圆环等八种图面积的计算方法。另外还系统讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。

第二章“粟米”——主要讲述了各种谷物的比率以及比例算法。最有名的比例算法有四项，其中一项为求未知项，该卷列出了求未知项的公式：

所求数=所有数×所求率÷所有率

第三章“衰分”——主要讲述以分配问题为中心的配分比例问题。

第四章“少广”——主要讲述了包括已知正方形在内的矩形的面积，求一边之长等问题，或者已知立方体的表面积求其边长的开方法则。这一章给出的正整数、正分数开平方、开立方的法则是世界上最早的相关记录。

第五章“商功”——主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，包括正四棱柱、圆柱、圆台、正圆锥等式中形体的体积计算公式。

第六章“均输”——主要讲述了以税负计算和其它应用问题为中心的比较复杂的分配比例计算方法，另外还提出了有关等差数列的问题。

第七章“盈不足”——主要讲述以盈亏问题为中心的一种双假设算法。

第八章“方程”——这里的“方程”含义与我们现在所讲的方程不同，它专指由线性方程组的系数排列而成的长方阵。除此之外，这一章还在世界上首次提出了负数的概念，说明了正负数以及零之间的加减运算法则。

第九章“勾股”——主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系。

《九章算术》最大的特点就是每一个问题的阐述都是一个应用题式的阐述，直接对应当时百姓的农业生产，而且通俗易懂，绝不故弄玄虚也不卖弄文墨。我们随意从里面找几个例子来看看就能有很好的体验了。

挖水渠

例1：
今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？
答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人工三百尺，问用徒几何？
答曰：三万三千五百八十二人功。功内少一十四尺四寸。
一千人先到，问当受袤几何？
答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一寸之八。
术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半只，以深乘之为法。实如法得尺。

译文：

今挖渠上宽1丈8尺，下宽3尺6寸，深1丈8尺，纵长51824尺。问这段渠的容积是多少？
答：容积是10074585立方尺600立方寸。
秋季规定每人日工程量为300立方尺，问需要多少人？
答：需要33582人，其中不足部分为14立方尺4立方寸。
若1000人先开工，问能挖渠多长？
答：能挖渠154丈3尺寸。
算法：用1人工程量的立方尺数乘以先到人数作为被除数；渠道上下宽度之和除以2，再乘以深度作为除数。除数除以被除数，即得所挖渠道的长度。
这是一个典型的农业生产灌溉工程中的核算问题。问题的模型是研究一个梯形截面的四棱柱的体积问题。对于大多数人来说，直接面对一个光秃秃的四棱柱可能会没有任何兴趣，但是一旦和农业生产相结合，工程主持的人员，当地的村长里正，甚至是每个参与人员都会关心，因为这牵涉到生产的时间、效率，当然进一步就是利益问题，所以自然亲近感会好很多。我们还可以再看一个例子。
……

在九章算术中还有许许多多这样的例题，在一个虚设的环境中来计算代数或几何模型的问题，其中绝大部分都是农业生产场景，所以也就相对更容易在民间流传开来并深远地影响后世。挖一条水渠究竟需要挖走多少方土，需要多少人，需要多久，能引入多少水源，这直接就能够核算出成本以及收益。利用“因木望山”的方法——也就是相似三角形的原理去测量山的高度，这也是一种非常实用而且简便易行的方法，能有效帮助地理图志的编绘人员降低测量成本，而且如果要缘山建路的话也有了数据参考。你可千万不要小看这些“农业数学应用题”，这对于中国工农业手工业以及机械制造都有重要的影响，降低成本提高效率，也难怪其它邻国们也会竞相传抄。